Blog de Matemáticas de Antonio Jara

Conjugados y racionalización

2009-09-22T06:43:00.000-07:00

Antes de empezar, conviene enunciar algunos teoremas. No los demostraremos aquí por brevedad, pero son intuitivamente sencillos.

Diremos que un polinomio con coeficientes racionales es irreducible si no es posible expresarlo como producto de dos polinomios de grado menor también con coeficientes racionales. Por ejemplo, , que es irreducible, se puede escribir como , pero ello no implica que no sea irreducible, ya que estos polinomios tienen algún coeficiente irracional.
Primero, si un número real o complejo es raíz de un polinomio con coeficientes racionales, habrá un polinomio de grado mínimo del cual sea raíz. Este polinomio es siempre irreducible. Lo llamaremos polinomio mínimo del número .
Segundo, el polinomio míninmo de un número divide a cualquier polinomio que tenga como raíz ese número.

Ejemplo:

El polinomio mínimo de es . Este polinomio es irreducible. Cualquier otro polinomio que tenga como raíz el número será divisible por .

Se dice que dos números reales o complejos y son conjugados si existe un polinomio con coeficientes enteros e irreducible que tenga como raíces a ambos.

Ejemplos:

Los números y son congujados, pues son raíces del polinomio .
Los números y no son conjugados, pues los polinomios mínimos son, respectivamente, y . El polinomio de grado más bajo que tendrá como raíz a ambos será , que, obviamente, no es irreducible.

Teorema:

Sean números racionales y supongamos que no es racional. Entonces:
y son conjugados.
y son conjugados.

Demostración:

Para el primer apartado, basta considerar el polinomio .
Para el segundo apartado, escribimos:

Se puede probar que el polinomio es irreducible. Por lo tanto será el polinomio mínimo de .
Resolviendo la ecuación bicuadrada

obtenemos que

y por tanto
.

Teorema:

El producto de todas las raíces de un polinomio con coeficientes racionales es racional. Por tanto, el producto de un número por todos sus conjugados es racional.

Demostración:

Si son todas las raíces de un polinomio con coeficientes racionales, ese polinomio será igual a . El término independiente de dicho polinomio será racional, pero por lo anterior será .

Así pues, si es un número irracional y queremos racionalizar una fracción que tenga en el denominador el número basta hacer lo siguiente:
Primero, se calcula el polinomio mínimo de y se hallan todas sus raíces.
Segundo, se multiplican todas las raíces salvo .
Y tercero, se multipplica numerador y denominador de la fracción por el producto obtenido en el paso anterior.

Ejemplo:

Racionalizar la expresión .
Empezamos hallando el polinomio mínimo:

Así que el polinomio mínimo es . Lamentablemente, no tenemos una fórmula práctica para hallar las raíces de una ecuación de grado 4, pero sabiendo que es una raíz del polinomio, podemos hacer el cambio (la idea es "quitar el 1") y queda
.
Las raíces de este polinomio son , así que los conjugados de son:

y su producto es

que es el número por el que hay que multiplicar numerador y denominador para efectuar la eacionalización.

Radicales irracionales.

2009-09-14T05:45:00.000-07:00

Vamos a probar el siguiente

Teorema:

Si a y m son enteros positivos, con , el número es entero o irracional (es decir, si tiene decimales, son infinitos no periódicos).

Demostración:

Supongamos que ocurre al contrario, es decir, que , siendo un número no entero. Entonces, . Tomemos un primo cualquiera p. En la factorización de , el primo p debe aparecer con un exponente múltiplo de m. Como , el primo p aparecerá las mismas veces en la factorización de , así que el número de veces que aparece en a será así mimso múltiplo de m.
Hemos probado así que todo número primo aparece en la factorización de a un número de veces que es múltiplo de m (este número de veces, para la mayoría de los casos, será 0). Por tanto, el número a tendrá raíz m-ésima entera (para hallarla, basta con dividir por m todos los exponentes de la factorización de a). Esto entra en contradicción con la suposición inical, lo que demuestra que era falsa.

Ejemplos:

El número es irracional, ya que , es decir, el primo 2 aparece tres veces en la factorización, y tres no es múltiplo del índice de la raíz, que es 2.
El número es entero, ya que , así que todos los primos aparecen en la factorización de 7776 un número de veces que es múltiplo de 5 (el índice). Dividiendo los exponentes por 5 obtenemos , es decir, que .

Ejercicios:

Demuestra detalladamente (como si no conocieras el teorema) que
no es racional.
Calcula el menor número entero positivo a que cumpla que

Calcula el mayor número entero m que cumpla que sea racional. ¿Cuánto vale para ese valor de m dicha raíz?
En general, ¿cuál es el mayor valor de m que hace que la expresión (donde todas las letras representan números enteros positivos, y p y q son primos distintos) sea un número entero?

Ternas Pitagóricas III

2009-09-12T04:31:00.000-07:00

Tratamos ahora de averiguar qué valores son posibles para la hipotenusa.
Es fundamental para ello el Teorema de Fermat sobre la suma de cuadrados, que afirma:
Un número primo impar p es suma de cuadrados si y sólo si .
La prueba de este teorema no es sencilla. Se pueden encontrar las ideas fundamentales de unas cuantas demostraciones en la wikipedia, en inglés.
También usaremos las propiedades del anillo de los enteros de Gauss, especialmente el hecho de que sea un dominio de factorización única.
De todos modos, estos conocimientos teóricos sólo son necesarios en las demostraciones.

Sea pues n un entero positivo. Se trata de averiguar si existe una TP de la forma .
Por lo que vimos en Ternas Pitagóricas I, el problema se reduce a expresar el número n como suma de cuadrados distintos. Llamaremos números SC a los números que se pueden expresar como suma de cuadrados.
Si un número es SC, se puede factorizar en el anillo de los enteros de Gauss: . Hemos visto que los primos SC son los congruentes con 1 módulo 4 y el 2; pues bien, estos números son primos en el anillo de los enteros, pero no en el de los enteros de Gauss.
No obstante, si p es un primo SC y , entonces y son primos en el anillo de los enteros de Gauss. En efecto, si por ejemplo, fuera aún divisible por , entonces sería divisible por , lo que es una contradicción, ya que p es primo.
Además, al formar los enteros de Gauss un DFU, los primos SC sólo se pueden descomponer de una manera.
Si n es impar y SC, entonces . En efecto, si entonces u será impar y v será par (o viceversa), y reduciendo módulo 4 obtenemos que .
Si n es SC, todos los factores primos p de n de la forma aparecerán en la factorización con exponente par: si no, tendríamos , pero y deben ser divisibles por la misma potencia de p (ya que p es primo en el anillo de los enteros de Gauss), con lo que debería ser par, una contradicción.
En suma, tenemos:

Teorema:

El número natural n es SC si y sólo si tiene al menos un factor primo SC y los factores primos no SC aparecen con exponente par.

Ejemplo:

Busquemos las ternas pitagóricas en las que aparece el número 585 como hipotenusa. Factorizando en los enteros de Gauss tenemos . Seleccionamos por un lado los factores y por otro, . Tenemos que , y multiplicando por nos queda que y , con lo cual, las ternas pitagóricas pedidas son y .

Ternas Pitagóricas II

2009-09-11T14:48:00.000-07:00

Vamos a abordar primero el problema de encontrar todas las ternas pitagóricas que contengan un determinado número. En una TP diremos que a y b son los catetos y c es la hipotenusa.

Teorema:

Si el número n es impar y tiene divisores, entonces el número de ternas pitagóricas que lo contienen como cateto es:
si n no es cuadrado perfecto.
si lo es.

Demostración:

Por lo visto en Ternas Pitagóricas I, . Si tenemos con , los números p y q son ambos impares, y el sistema

tiene solución en el conjunto de los enteros positivos, a saber, y .
Entonces es una TP cuyo primer término es n.
Es claro que tomando otra pareja distinta con las condiciones especificadas obtendremos otra terna distinta: en efecto, si por ejemplo, entonces y , es decir, el otro cateto será mayor.
Así, vemos que hay tantas ternas pitagóricas que contienen a n como cateto como pares de números . Para cumplir la condición , el número p debe elegirse de entre los divisores de n que son mayores que , que son la mitad si n no es cuadrado perfecto, y si lo es, como queríamos demostrar.

Ejemplo:

Encontrar todas las ternas pitagóricas que contengan al 15 como cateto.
El 15 tiene cuatro divisores, por lo que se puede expresar como producto de números distintos de 2 fromas: y . Para la primera, obtenemos , , y la terna será . Para la segunda tenemos , , y la terna será .

Teorema:

Si el número n es par y tiene d divisores, entones, el número de ternas Pitagóricas donde aparece n como cateto es:
si no es cuadrado perfecto.
si lo es.

Demostración

Ahora tenemos que , por lo que basta contar el número de posibles parejas de números hay. El razonamiento es muy similar al del teorema anterior.

Ternas Pitagóricas I

2009-09-11T11:15:00.000-07:00

Una terna pitagórica (TP) es una terna de números naturales que cumplen . Por ejemplo, es una TP porque .

La causa de su nombre es la relación con el teorema de Pitágoras. Una terna pitagórica correspondería a una terna de posibles longitudes enteras para los lados de un triángulo rectángulo.

Obsérvese que si es TP entonces también lo es, para cualquier valor natural de , ya que
Llamaremos terna pitagórica primitiva (TPP) a una TP tal que no existe ningún número natural mayor que 1 que divida a , a y a .

En una TPP los términos son primos entre sí dos a dos. En efecto, sea un divisor común de y Pongamos , . Entonces y vemos que divide a . Por tanto divide a . Como es una TPP, .

Observemos también que si es una TPP entonces y no pueden ser pares simultáneamente. Tampoco pueden ser impares simultáneamente, ya que si reducimos la ecuación módulo 4 obtenemos que , lo cual es imposible. Llegamos a la conclusión de que es impar y es par o viceversa. En una TPP, pondremos que el primer término escrito es el impar.

Veamos ahora una caracterización útil de las ternas pitagóricas.

Teorema:

Si es una TPP entonces existen enteros primos entre sí tales que , , .

Demostración:

Por hipótesis, es par, es decir, . Tenemos entonces que .
Por otro lado, , ya que ambos son pares; y si un primo impar divide a y a , entonces divide a la suma, ; y como es impar, de donde , entrando en contradicción con que es primitiva. Así, el único primo que divide a ambos es 2.
Por tanto, podemos escribir que es el producto de dos números enteros primos entre sí: . Cuando el producto de dos números primos entre sí es cuadrado perfecto, éstos también deben serlo, y podemos poner que y , demostrando así el teorema.

También es cierto para ternas pitagóricas cualesquiera: sea una TP, y sea . Sean , , . Es claro que es una TPP. Existen entonces , tales que , , , y entonces , y .